22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
On considère (x3, · · · , Xn) un (n - 2)-uplet de réels. Alors,
Ainsi,
(X1 + X2 = x) n (ni:=3(Xk = xk))
= (üiEI (X1 =ai n X2 = x - ai)) n (ni:=3(Xk = xk))
= (JiEI ((X1 =ai) n (X2 =X - ai) nk=3 (Xk = Xk))
n
= LJP'(X1 = ai)JP'(X2 = x - ai) II lP'(Xk = Xk)·
iEI
k=3
n
= JP'(X1 + X2 = x) II JP'(Xk = xk)·
k=3
Les variables (X1 + X2, X3, · · · , Xn) sont indépendantes.
2. Évident à l'aide d'une récurrence.
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Proposition 22.43 Soient X 1, X2, · · · Xn sont des variables aléatoires
discrètes indépendantes.
1. Si X 1 , X 2 , · · · Xn admettent~ des moments d'ordre 1, alors la variable
X1X2 · · · Xn admet un moment d'ordre 1 avec
n
IE(X1X2 · · · Xn) =II JE( Xi)·
i=l
2. Si X 1 , X 2, · · · Xn admettent des moments d'ordre 2, alors la
variableL;~=l Xi admet un moment d'ordre 2 et:
n
n
vcL:xi) = L:vcxi)·
i=l
i=l
Remarque 22.10 Attention, l'hypothèse d'indépendance est nécessaire. En effet,
considérons une variable aléatoire X admettant un moment d'ordre 1 mais pas un
moment d'ordre 2. Alors la variable X.X n'admet pas de moment d'ordre 1.
Preuve. Effectuons les preuves pour deux variables aléatoires indépendantes X
et Y. Pour obtenir le résultat pour n variables, il suffit d'effectuer une preuve
par récurrence. Il faut s'assurer que si les variables aléatoires X1,X2, · · · ,Xn sont
indépendantes alors pour tout entier k strictement positif et strictement inférieur
à n, les variables X 1 + X2 · · · + Xk,Xk+l• · · · ,Xn sont indépendantes (exercice
22.6) ainsi que les variables X 1X 2 .. · Xk, Xk+l• · · · , Xn (preuve comparable à la
solution de l'exercice 22.6).