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PROBABILITÉS
Définition : Soit (0, A), P) un espace probabilisé. Pour tout couple
(X, Y) de VJ ( 0), on appelle coefficient de corrélation linéaire le réel
Cov{X, Y)
p(X, Y) = a(X).a(Y).
Proposition 22.42 Soit (0, A), P) un espace probabilisé. Pour tout couple
(X, Y) de V,1(0), on a
Jp(X, Y)J ::; 1.
Preuve. Évident.
Il
Définition : Soit (0, A), P) un espace probabilisé. On dit que deux
éléments X et Y de V,1(0) sont non corrélées si leur coefficient de
corrélation linéaire est nul.
22.8.3 Variables aléatoires discrètes indépendantes
La définition des variables aléatoires indépendantes, ainsi que la remarque 22.8
associée à cette définition, sont données dans la section 22. 7.2, page 417.
Exercice 22.6 Soit n un entier strictement supérieur à 2 et n variables aléatoires
indépendantes X1, X2, X3 · · · , Xn.
1. Montrer que les variables aléatoires X1 + X2, X3 · · · , Xn sont indépendantes.
2. En déduire que, pour tout entier k compris entre 2 et (n - 1), les variables
sont indépendantes.
Solution.
1. On note (ai)iEI l'ensemble image de la variable X 1 . On sait que I est un
ensemble au plus dénombrable. Soit x un réel. On a,
Ainsi,
P{X1 + X2 = x) = LP{X1 =ai n X2 = x - ai)
iEJ
= LP(X1 = ai)P(X2 = x - ai)·
iEJ