22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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Proposition 22.38 Soient (n, A), IP' ) un espace probabilisé, X et Y deux
éléments de VJ ( n), alors
Cov(X, Y)= JE(XY) - JE(X)JE(Y).
Preuve. Nous avons
(X - JE(X))(Y - JE(Y)) = XY - JE(X)Y - JE(Y)X + JE(X)JE(Y).
L'espérance étant une forme linéaire, on a
Cov( X, Y) = JE( XY)- JE( X)JE(Y)-JE( X)JE(Y) +JE( X)JE(Y) = JE( XY)- JE( X)JE(Y) .
. .
Proposition 22.39 Soit (n, A), IP' ) un espace probabilisé. Dans l'espace
(VJ(O), +, .), la covariance est une forme bilinéaire symétrique positive dont
la forme quadratique associée est la variance.
Preuve. Évident
Remarque 22.9 Attention, la covariance est une forme bilinéaire symétrique positive mais non définie. En effet une variable aléatoire admet une variance nulle
si et seulement si elle est déterministe, c'est-à-dire constante.
En utilisant la formule de polarisation pour une forme quadratique, nous obtenons,
Corollaire 22.40 Soit (n, A), IP' ) un espace probabilisé. Pour tout couple
(X, Y) de VJ(O), on a
V(X +Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y).
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour une forme bilinéaire symétrique
positive, nous obtenons,
Corollaire 22.41 Soit (n, A), IP' ) un espace probabilisé. Pour tout couple
(X, Y) de VJ(O), on a
ICov(X, Y)I S a(X).a(Y).
Corrélation linéaire
Pour avoir une idée de la corrélation entre deux variables X et Y, nous normalisons la covariance ~