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PROBABILITÉS
On en déduit que XY admet un moment d'ordre 1 avec
Proposition 22.36 Soit (S1,A),IP') un espace probabilisé. L'ensemble que l'on
notera VJ(S1), des variables aléatoires réelles discrètes définies sur n et admettant un moment d'ordre 2 est un sous-espace vectoriel de VJ(n).
Preuve. D'après la proposition 22.26, page 418, l'ensemble VJ(S1) est inclus dans
l'espace vectoriel VJ(n).
1. La variable aléatoire réelle nulle définie sur n admet un moment d'ordre 2.
L'ensemble VJ(S1) est non vide.
2. Considérons X et Y deux éléments de VJ(S1) donc admettant un moment
d'ordre 2.
(X+ Y) 2 = X 2 + Y 2 + 2XY.
Par hypothèse, les variables X et Y admettent un moment d'ordre 1 et
d'après la proposition 22.35, la variable XY admet un moment d'ordre 1.
On en déduit que la variable (X+ Y) 2 admet un moment d'ordre 1 et que
la variable (X+ Y) admet un moment d'ordre 2.
3. Il est évident que, pour toute variable aléatoire X admettant un moment
d'ordre 2 et pour tout réel a, la variable (aX) admet un moment d'ordre 2.
On en déduit que VJ(S1) est un sous-espace vectoriel de l'espace (VJ(n), +, .). ..
Covariance
Proposition-définition 22.37 Soient (n, A), IP' ) un espace probabilisé, X et
Y deux éléments de VJ ( n), alors la variable aléatoire discrète
(X - JE(X))(Y - JE(Y))
admet un moment d'ordre 1 et on appelle covariance du couple (X, Y) notée
Cov(X, Y), le réel
Cov(X,Y) = JE[(X - JE(X))(Y - JE(Y))].
Preuve. Soit X et Y deux éléments de VJ(S1). Cet ensemble étant stable par
addition les variables (X - JE(X)) et (Y - JE(Y)) admettent un moment d'ordre
2. D'après la proposition 22.35, leur produit admet un moment d'ordre 1. Ceci
justifie la définition de la covariance pour les couples de V~(n).
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