22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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Il
Définition : On dit qu'une variable aléatoire discrète est réduite si elle
admet un écart-type égal à 1.
Proposition 22.35 Soient (n, A, IP' ) un espace probabilisé, X, Y deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur n admettant un moment d'ordre
2, alors la variable produit XY admet un moment d'ordre 1.
Preuve. Notons (xi)iEN, (y3)jEN et (zk)kEN les images respectives des variables
X, Y et (XY). Par hypothèse, les variables X et Y admettent un moment d'ordre
2. Ainsi,
En utlisant la propriété d'associativité généralisée pour les familles sommables
(proposition 15.18 page 252), nous obtenons
IE(X 2 ) = L xtlP'(X =xi n Y= Y3).
(i,j)EJ\! 2
De même,
et
IE(Y 2 ) = L yJIP'(X =xi n Y= Y3).
(i,j)EJ\! 2
IE(X 2 ) + IE(Y 2 ) = L (xt + yJ)IP'(X =xi n Y= Y3).
(i,j)EJ\! 2
En remarquant que
V(i,j) E N 2 ,
on en déduit que la famille
L xiy31P'(X =xi n Y= YJ)
(i,j)EJ\!2
est sommable. En notant pour tout entier naturel k,
on a
+oo
L xiy 3 1P'(X =xi n Y= YJ) = L L XiYJIP'(X =xi n Y= y3)
(i,j)EJ\! 2
k=O (i,j)EAk
+oo
= L ZklP'(XY = Zk)·
k=O