422
PROBABILITÉS
Variance. Écart-type
Proposition-définition 22.32 Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre 2. Alors la variable centrée (X - JE(X)) admet
également un moment d'ordre 2. On appelle alors variance de X, le réel positif,
V(X) =JE [(X - JE(X)) 2 ].
Preuve. On peut remarquer que la variable aléatoire X admettant, un moment
d'ordre 2, admet également un moment d'ordre 1 donc une espérance.
(X - JE(X)) 2 = X 2 - 2JE(X).X + (JE(X)) 2 .
Les variables aléatoires X 2 , X admettent un moment d'ordre 1 ainsi que la variable
déterministe (JE( X)) 2 . La variable aléatoire (X - JE( X)) admet ainsi un moment
d'ordre 2.
.ft
Proposition 22.33 Si une variable aléatoire discrète X admet un moment
d'ordre 2, on a
Preuve.
V(X) = JE(X 2 ) - (JE(X))2.
V(X) = JE[(X - JE(X)) 2 ] = JE(X 2 ) - JE[2JE(X)X] + (JE(X)) 2
= JE(X 2 ) - 2(JE(X)) 2 + (JE(X)) 2 = JE(X 2 ) - (JE(X)) 2 .
Proposition 22.34 Soient a et b deux réels et X une variable aléatoire
discrète admettant un moment d'ordre 2. On a,
V(aX + b) = a 2 V(X).
Preuve. On a JE(aX + b) = aJE(X) + b. Ainsi,
V(aX + b) =JE [(aX + b - JE(aX + b)) 2 ] =JE [(aX - aJE(X)) 2 ]
= a 2 JE [(X - JE(X)) 2 ] = a 2 V(X).
Définition : On appelle écart-type de la variable X admettant un moment d'ordre 2, le réel positif,