22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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Preuve.
1. Notons (xi)iEN• (Yi)iEN et (zk)kEN les images respectives des variables X, Y
et (X+ Y).
+oo
+oo ( +oo
)
lE(X) = ~xilP'(X =Xi)=~ Xi ~IP'(X =Xi n Y= Yi)
En utlisant la propriété d'associativité généralisée pour les familles sommables (proposition 15.18, page 252), nous obtenons
JE(X) = L xilP'(X =xi n Y= Yi)·
(i,i)EN 2
De même,
Ainsi,
JE(Y) = L YilP'(X =xi n Y= Yi)·
(i,i)EN 2
JE(X) + JE(Y) = L (xi+ Yi)IP'(X =xi n Y= Yi)·
(i,i)EN 2
En notant pour tout entier naturel k,
Ak = { ( i, j) E N 2 ' /Xi + Yi = Zk}
et en utilisant l'associativité généralisée, on obtient
JE(X) + JE(Y) = L L (xi+ Yi)IP'(X =xi n Y= Yi)
kEN (i,i)EAk
kEN (i,i)EAk
On en déduit que la variable (X+ Y) admet un moment d'ordre 1 avec :
JE(X +Y) = JE(X) + JE(Y).
2. Évident
Corollaire 22.31 Soit (n, A), IP' ) un espace probabilisé. Muni des lois + et . ,
l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes dé.finies sur n et admettant
un moment d'ordre 1 est un espace vectoriel sur~ que l'on notera VJ(!t). Dans
cet espace, l'espérance est une forme linéaire.
Preuve. Évident