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PROBABILITÉS
Il
Définition : On dit qu'une variable aléatoire discrète est centrée si elle
admet une espérance nulle.
Proposition 22.28 Une variable aléatoire discrète X admet un moment
d'ordre k si et seulement si la variable aléatoire Xk admet un moment d'ordre
1 avec
Preuve. Évident
Avant d'énoncer les propositions 22.30 et 22.35, établissons le lemme :
Lemme 22.29 Soient (0, A, IP) un espace probabilisé, X et Y deux variables aléatoires
réelles discrètes définies sur cet espace et admettant pour image respectivement
(xi)iEN et (Y;);EN· Pour toute loi de composition interne * sur JR, pour tout réel
z, notons
Alors,
IP(X *Y= z) = 2.: IP(X =xi n Y= Y;).
(i,j)EA
Preuve. Nous avons
D'où,
(X* y= z) = (J(i,j)EA(X =Xi n y= Y;).
IP(X *y= z) = I.: IP(X =Xi n y= Y;).
(i,j)EA
Proposition 22.30 Soient (0, A, IP) un espace probabilisé, X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur cet espace et admettant un moment d'ordre 1, alors :
1. La variable (X+ Y) admet un moment d'ordre 1 avec
JE(X +Y) = JE(X) + JE(Y).
2. Pour tout réel a, la variable (aX) admet un moment d'ordre 1 avec
JE(aX) = alE(X).