22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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Définition : Soient a un réel strictement positif et X une variable
aléatoire discrète d'image X(f!) = (xi)iEN· On dit que X admet un
moment exponentiel d'ordre a si la série
est convergente.
LH»(X = Xi)e"'lx;I
i:?:O
Proposition 22.27 Soit a un réel strictement positif et X une variable
aléatoire discrète admettant un moment exponentiel d'ordre a. Alors,
1. Pour tout réel /3 strictement positif et inférieur à a, la variable aléatoire
X admet un moment exponentiel d'ordre /3.
2. Pour tout entier strictement positif k, la variable aléatoire X admet un
moment d'ordre k.
Preuve. Notons (xi)iEN, l'ensemble image de la variable X.
1. Soit /3 un réel vérifiant 0 < /3 < a. Alors,
\:fi~ 0, 0 S n»(X = Xi)e.Blx;I S n»(X = xi)e"'lx;I.
La convergence de la série Li>O n»(X = xi)e'tlxd entraîne celle de la série
Li:?:O H»(X = Xi)e.Blx;I.
-
2. Soit k un entier strictement positif. L'application
f : JR+ ----T JR+
x 1-----+ xke-"'"'
est continue sur JR+ admet pour limite 0 lorsque la variable x tend vers +oo.
Cette application est donc bornée sur JR+. Soit M un majorant. Alors,
Vi ~ 0, H»(X = Xi)lxilk S M.H»(X = Xi)e"'l"'d.
La convergence de la série Li>O H»(X = Xi)e"'lx;I entraîne celle de la série
Li::::on»(X = xi)lxilk.
-
22.8.2 Espérance, variance, covariance
Espérance
Définition : Lorsque le moment d'ordre 1 d'une variable aléatoire
discrète X existe, il est appelé espérance et noté
+oo
JE(X) = L XiH»(X =Xi)·
i=O