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PROBABILITÉS
22.8 Variables aléatoires réelles discrètes
Avant de débuter cette section, pour une bonne compréhension, je conseille de
relire les sections 15.4.3, page 250 et 15.4.4, page 251. Dans cette section, toute
variable aléatoire réelle X définie sur une espace probabilisé (n, A, IP) est discrète.
Son ensemble image X(Sl) est fini ou dénombrable. Dans le cas où cet ensemble
est dénombrable, nous l'indiçons sur N grâce à une bijectfon de N sur X(Sl). Nous
noterons X(Sl) = (xi)iElll· Il est important de remarquer que les propriétés énoncées
ou résultats obtenus sont indépendants de la façon d'indicer. En effet, toutes les
séries rencontrées sont absolument convergentes ou à termes positifs.
Les définitions et propriétés sont indiqués lorsque X(Sl) est dénombrable. Dans le
cas fini, il suffit d'adapter chaque définition et proposition.
Proposition admise 22.25 Muni des lois +, x, ., l'ensemble des variables
aléatoires réelles discrètes définies sur un espace probabilisé (Sl, A, IP) est une
algèbre sur lR que l'on notera Vd(Sl).
22.8.1 Moments d'une variable aléatoire discrète
Définition : Soit k un entier strictement positif. On dit qu'une variable
aléatoire discrète X d'image X(Sl) = (xi)iel\I admet un moment d'ordre
ksi la série
L:xf!P(X =Xi)
i~O
est absolument convergente. Dans ce cas, la somme de la série est appelée
moment d'ordre k de X et on note
+oo
mk(X) = L xf!P(X =xi)·
i=O
Proposition 22.26 Soient X une variable aléatoire discrète, k1 et k2 deux
entiers vérifiant k2 > k1 > O. Si X admet un moment d'ordre k2 alors X
admet un moment d'ordre k1.
Preuve. On peut remarquer que, pour tout réel a positif, on a
ak1 ~ 1 + ak2.
Notons (xi)iel\I, l'ensemble image de la variable X.
Vi EN, 0 ~ lxilk 1 1P(X =Xi)~ IP'(X =xi)+ lxilk 2 1P(X =xi)·
Les séries Ei>O IP(X = Xi) et Ei>O lxilk 2 JP>(X = Xi) sont convergentes. La série
Ei~O lxdk 1 IP'(X = Xi) est donc con~ergente.
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