22.7. VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE
417
22. 7.2 Variables aléatoires réelles indépendantes
Définition : Des variables aléatoires réelles Xi, X2, · · · Xn sont
indépendantes si, pour tous boréliens B1, B 2 · · · Bn, on a:
n
IP[(X1 E B1) n (X2 E B2) n ... n (Xn E Bn)] = IIIP(Xi E Bi)·
i=l
Remarque 22.8 Important. D'après la proposition 22. 7 page 400, nous pouvons remplacer la famille de boréliens (Bi)iEI
1. par une famille d'intervalles de la forme (]ai; bi [)iEJ,
2. ou par une famille de segments ([ai; bi])iEI,
3. ou par une famille d'intervalles de la forme (] - oo; ai])iEI.
4. Dans le cas où les variables sont discrètes, on peut remplacer la famille
de boréliens (Bi)iEI par une famille de singletons ( { ki} )iEJ où, pour tout
élément i de I, ki est un réel.
Définition : On dit qu'une suite (Xn)nEN de variables aléatoires réelles
est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, si pour tout
entier positif N, les variables (Xi)o~i~N sont indépendantes.
Exercice 22.5 Soient X 1 , X2 , · • • Xn, n variables aléatoires réelles indépendantes,
définies sur un espace probabilisé (n, A, P) et fi, f2,- · · fn. n applications définies
et continues sur lR à valeurs réelles. Montrer que fi o Xi, ho X2, · · · f no Xn sont des
variables aléatoires réelles indépendantes.
Solution. Soit k un entier compris entre 1 et n et Bk un ouvert de IR. Alors,
[fk(Xk)t 1 (Bk) = x;; 1 (f;; 1 (Bk)).
L'application fk étant continue sur IR, fï: 1 (Bk) est un ouvert de lR (voir la proposition 3.8, page 37) et Xk étant une variable aléatoire, x;; 1 (f;; 1 (Bk)) est un
élément de la tribu A. Ainsi pour tout entier k compris entre 1 et n, (fk(Xk)) est
une variable aléatoire réelle.
On considère (Bkh~k~n une famille d'ouverts de R
Jp> ([1 (fk(Xk)) E Bk)) = Jp> Côl (Xk E J;;
1 (Bk)))
n
n
= II IP(Xk E fï: 1 (Bk)) = II IP(fk(Xk) E (Bk)).
k=l
k=l
Les variables aléatoires fi o X 1, ho X2, · · · fn o Xn sont indépendantes.