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PROBABILITÉS
Remarque 22.5 Important. D'après la proposition 22. 7, page 400, nous pouvons remplacer les boréliens
1. par les intervalles de la forme ]a; b[,
2. ou par les segments,
3. ou par les intervalles de la forme ] - oo; a].
Proposition admise 22.22 Muni des lois +, x, ., l'ensemble des variables
aléatoires réelles, définies sur un espace probabilisé (S1, A, IP' ) est une algèbre
sur R. que l'on notera V(S1).
Remarque 22.6 La condition {22.24) sera toujours vérifiée dans ce chapitre.
22.7.1 Loi d'une variable aléatoire réelle
Théorème-définition 22.23 Soit (S1, A, IP' ) est un espace probabilisé et X une
variable aléatoire réelle définie sur cet espace. L'application suivante définie sur
B(R.) par,
B ~ IP'(X- 1 (B)) = IP'(w/X(w) E B),
définit une probabilité sur (R., B(R)). Cette probabilité est appelée loi de X.
Définition : Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de
répartition de X, la fonction de répartition de sa loi de probabilité. On
a ainsi :
Va ER., F(a) = IP'(X :::; a).
Proposition admise 22.24 La fonction de répartition caractérise la loi de la
variable aléatoire réelle.
Définition : Soit X une variable aléatoire réelle.
1. Si sa loi de X est discrète, on dit qu'elle est une variable aléatoire
discrète.
2. Si sa loi de X est continue, on dit qu'elle est une variable aléatoire
continue.
Remarque 22. 7
1. On se restreint désormais à ces deux types de variables.
2. Pour la caractérisation des lois de probabilité, on pourra se référer à la section 22.4.