22.7. VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE
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Solution. On considère l'enemble n = {1, · · · , n} que l'on munit de la tribu P(f!)
et de la probabilité uniforme, c'est-à-dire,
Vk E {1,. .. ,n}, IP' ( { k}) = .! .
n
1. Pour tout entier premier p divisant n, on a
IP'(A ) = Card(Ap) = i_
P
Card(f!)
n
1
p
2. Considérons une partie J de {1, 2, · · · k} non vide. Les nombres Pi, pour i
appartenant à J, étant premiers et distincts, sont premiers entre eux. Un
nombre est divisible par chacun d'eux, si et seulement si il est divisible par
leur produit. Donc,
Ainsi,
Les événements Ap 1 , Ap 2 , • • • APk sont indépendants.
3. Notons A l'événement : « le nombre choisi est premier avec n ». On a
IP'(A) = Card(A) = (n).
n
n
On note P1,P2, · · · ,Pk les diviseurs premiers den. Le nombre choisi est premier avec n, si et seulement si il n'est divisible par aucun diviseur premier
den. Donc
A= n:= 1 A~;·
D'après la question précédente et l'exercice 22.2, ces événements sont indépendants. Ainsi,
On obtient le résultat désiré.
22. 7 Variable aléatoire réelle
Définition : Soit (n, A, IP' ) un espace probabilisé. On appelle variable
aléatoire réelle définie sur (n, A, IP'), toute application X définie sur n à
valeurs réelles et vérifiant :
VB E B(IR), x- 1 (B) E A.
(22.24)