414
PROBABILITÉS
Si J ne contient pas le singleton {1}, il suffit d'utiliser l'hypothèse.
Les événements Aî, A2, · · · , An sont donc indépendants.
2. Il suffit d'effectuer une récurrence finie en utilisant le résultat de la question
précédente.
Exercice 22.3 On considère deux gènes a et b tels que la redondance de l'un d'entre
eux (i. e. le fait de possèder aa ou bb) entraîne l'acquisition d'un caractère C. Anselme et Colette possèdent chacun la combinaison ab et attendent un enfant : ils lui
transmettront chacun et indépendamment, soit le gène a, soit le gène b, avec la même
probabilité (c'est-à-dire ~). On considère les événements:
A = « Colette transmet le gène a»,
B = « Anselme transmet le gène b »,
C = « l'enfant présente le caractère C ».
Montrer que les événements A, B, et C ne sont pas indépendants, mais seulement
deux à deux indépendants.
Solution. Par hypothèse, les événements A et B sont indépendants. Ainsi,
IP'(C) = lP' (An Be)+ lP' (Ac n B) = IP'(A)IP'(Bc) + IP'(Ac)IP'(B) = ~·
De plus,
IP'(A n C) = lP' (An Be) = IP'(A)IP'(Bc) = ~.
IP'(B n C) = lP' (Ac n B) = IP'(Ac)IP'(B) = ~·
IP'(A n B n C) = IP'(0) = o.
Les événements A, B et C ne sont pas indépendants mais seulement deux à deux
indépendants.
4
Exercice 22.4 (Fonction d'Euler). Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On choisit au hasard un des nombres entiers compris entre 1 et n, tous les choix
étant équiprobables. Soit p un entier naturel non nul inférieur ou égal à n. Soit Av
l'événement : «le nombre choisi est divisible par p ».
1. Calculer IP'(Av) si p divise n.
2. Montrer que si p1,p2, · · · Pk sont des diviseurs premiers den distincts, les événements Ap 1 , Av 2 , • • • APk sont indépendants.
3. On appelle fonction indicatrice d'Euler la fonction <.P définie sur les entiers naturels dont la valeur <.P(n) est égale au nombre d'entiers naturels premiers avec
n et inférieurs à n. Montrer que
<.P(n) = n
Il. ( 1 - ~) .
p premier
et divisant n
PROBABILITÉS
Si J ne contient pas le singleton {1}, il suffit d'utiliser l'hypothèse.
Les événements Aî, A2, · · · , An sont donc indépendants.
2. Il suffit d'effectuer une récurrence finie en utilisant le résultat de la question
précédente.
Exercice 22.3 On considère deux gènes a et b tels que la redondance de l'un d'entre
eux (i. e. le fait de possèder aa ou bb) entraîne l'acquisition d'un caractère C. Anselme et Colette possèdent chacun la combinaison ab et attendent un enfant : ils lui
transmettront chacun et indépendamment, soit le gène a, soit le gène b, avec la même
probabilité (c'est-à-dire ~). On considère les événements:
A = « Colette transmet le gène a»,
B = « Anselme transmet le gène b »,
C = « l'enfant présente le caractère C ».
Montrer que les événements A, B, et C ne sont pas indépendants, mais seulement
deux à deux indépendants.
Solution. Par hypothèse, les événements A et B sont indépendants. Ainsi,
IP'(C) = lP' (An Be)+ lP' (Ac n B) = IP'(A)IP'(Bc) + IP'(Ac)IP'(B) = ~·
De plus,
IP'(A n C) = lP' (An Be) = IP'(A)IP'(Bc) = ~.
IP'(B n C) = lP' (Ac n B) = IP'(Ac)IP'(B) = ~·
IP'(A n B n C) = IP'(0) = o.
Les événements A, B et C ne sont pas indépendants mais seulement deux à deux
indépendants.
4
Exercice 22.4 (Fonction d'Euler). Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On choisit au hasard un des nombres entiers compris entre 1 et n, tous les choix
étant équiprobables. Soit p un entier naturel non nul inférieur ou égal à n. Soit Av
l'événement : «le nombre choisi est divisible par p ».
1. Calculer IP'(Av) si p divise n.
2. Montrer que si p1,p2, · · · Pk sont des diviseurs premiers den distincts, les événements Ap 1 , Av 2 , • • • APk sont indépendants.
3. On appelle fonction indicatrice d'Euler la fonction <.P définie sur les entiers naturels dont la valeur <.P(n) est égale au nombre d'entiers naturels premiers avec
n et inférieurs à n. Montrer que
<.P(n) = n
Il. ( 1 - ~) .
p premier
et divisant n