22.6. ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS
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,
22.6 Evénements indépendants
Définition : Soient A et B deux événements. On dit que A et B sont
indépendants si
IP'(A n B) = IP'(A)IP'(B).
Proposition 22.21 Soient A et B deux événements de probabilité non nulle.
Alors
A et B indépendants{::} IP'(A/ B) = IP'(A) {::} IP'(B /A) = IP'(B).
De manière plus générale, on définit l'indépendance de plusieurs événements.
Définition : Soient Ai, A2, · · · , An des éléments de A. On dit que
Ai, A2, · · · , An sont indépendants si pour toute partie J non vide de
{1,2, · · · ,n}, on a
Exercice 22.2 Soient Ai, A2, · · · , An des événements indépendants.
1. Montrer que Aî, A2, · · · , An sont des événements indépendants.
2. En déduire que pour tout entier k compris entre 1 et n, les événements
sont indépendants.
1. Soit June partie de l'ensemble {1, · · · , n} contenant strictement le singleton
{1}. Alors,
niEJ\{i}Ai = (Ain (niEJ\{i}Ai)] (J (A! n (niEJ\{l}Ai)].
Donc,
En utilisant l'hypothèse,
P (Al' n (niEJ\{i}Ai)) = II IP'(Ai) - II IP'(Ai)
iEJ\{i}
iEJ
= (1- IP'(Ai)) II IP'(Ai) = IP'(Al) II IP'(Ai)·
iEJ\{i}
iEJ\{i}