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PROBABILITÉS
=0,25an +0,25bn.
Soit
(
0
0, 75 0)
M = 0, 75 0 1 .
0,25 0,25 0
2. A l'aide d'une récurrence évidente, on obtient,
3. On remarque que la somme des termes de chaque colonne de la matrice M est
égale à 1. Donc le vecteur (1, 1, 1) est vecteur propre de la matrice transposée
de M pour la valeur propre 1. On en déduit que 1 est valeur propre de la
matrice M. Après calcul du polynôme caractéristique, on obtient les deux
autres valeurs propres >.1 = -~ et >.2 = -~.
4 ::~::e r;e r:o: :::o:ro:~ 1 (~ra) dr oi k ilirigW p~ l e
5. Notons (o:o, o:i, 0:2) les coordonnées du vecteur Xo dans la base (uo, ui, u2).
Pour tout entier naturel n, les événements An, Bn et Cn forment un système
complet d'événements. Ainsi,
Donc, pour tout naturel n, la somme des composantes du vecteur Xn est
égal à 1. Notons s1 et s2 les sommes des composantes des vecteurs u1 et u2.
Alors,
't:/n EN, 1 = o:o + >.f 0:1s1 + >.~0:2s2.
Les réels >.1 et >.2 étant des réels dont la valeur absolue est strictement
inférieur à 1, en passant à la limite on obtient o:0 = 1.
6. Ainsi,
't:/n EN, Xn = Uo + >.fo:1U1 + À~o:2u2.
La suite (Xn)nEN est convergente vers le vecteur u0 • Ainsi, les trois suites
( an)nEN, (bn)nEN et ( Cn)nEN sont convergentes respectivement vers ~~, ~~ et
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