22.5. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
411
n
n
= L IP'(A n Bk) = L IP'(A/ Bk)IP'(Bk)·
k=l
k=l
Exercice 22.1 Trois enfants A, B et C jouent à la balle. Lorsque A a la balle, il la
lance à B avec une probabilité 0,75 ou à C avec une probabilité 0,25. Lorsque B a
la balle, il la lance à A avec une probabilité 0,75 ou à C avec une probabilité 0,25.
Lorsque C a la balle, il la lance toujours à B.
- On note Ao (respectivement Bo et Co), l'événement : le joueur A (respectivement B et C) a la balle au début du jeu.
- Pour tout entier n strictement positif, on note An (respectivement Bn et Cn).
l'événement : le joueur A (respectivement B et C) a la balle après le n-ième
lancer.
- Pour tout entier naturel n, on note an, bn et Cn les probabilités respectives des
événements A,., Bn et Cn et Xn le vecte"r colonne ( ~ ) .
1. Montrer qu'il existe une matrice M de M3(JR.), vérifiant
2. En déduire pour tout entier naturel n, Xn en fonction de M, net Xo.
3. Montrer que M admet trois valeurs propres réelles 1, )q et À2 avec -1 < À1 <
À2 4. Montrer qu'il existe un unique vecteur u0 qui soit vecteur propre pour la valeur
propre 1 et dont la somme des coordonnées soit égale à 1.
5. On considère alors une base de vecteurs propres ( uo, u 1, u2) où uo est le vecteur
indiqué dans la question précédente. Montrer que la première coordonnée du
vecteur Xo dans la base (u0 ,u1 ,u2) est égale à 1.
6. En déduire que les suites (an)nEN• (bn)nEN et (cn)nEN sont convergentes et
calculer leur limite.
Solution.
1. En utilisant la proposition 22.20, on obtient pour tout entier naturel n,
= 0, 75bn.
IP'(Bn+l) = IP'(Bn+i/An)IP'(An) + IP'(Bn+i/ Bn)IP'(Bn) + IP'(Bn+i/Cn)IP'(Cn)
= 0, 75an + Cn.