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PROBABILITÉS
22.5 Probabilité conditionnelle
Définition : Soient (0, A, IP' ) un espace probabilisé, A un événement et
B un événement de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, le réel :
IP'(A/ B) = IP'(A n B)
IP'(B) .
Proposition 22.18 Si B est un événement de probabilité non nulle, l'application
A i-> IP'(A/ B)
est une probabilité sur (O,A).
Preuve.
1.
IP'(O/ B) = IP'(n n B) = 1
IP'(B)
.
2. On considère (An)nEN une suite d'événements deux à deux incompatibles.
La suite (An n B)nEN est aussi une suite d'événements deux à deux incompatibles. Ainsi,
+oo
IP'((ÛnENAn) n B) = IP'(ÛnEN (An n B)) = L IP'(An n B).
n=O
D'où le résultat.
Proposition 22.19 Soient A et B deux événements tels que IP'(B) -:/=O. Alors
IP'(A n B) = IP'(A/ B)IP'(B).
Proposition 22.20 Soient Bi, B2, · · · , Bn un système complet d'événements
de probabilité non nulle. Alors pour tout événement A,
n
IP'(A) = L IP'(A/ Bk)IP'(Bk)·
k=l
Preuve.