22.4. PROBABILITÉS SUR (IR, B(IR))
409
La suite ([a; anDnEN est croissante. Ainsi,
1
an
IP([a; +oo[) = ]p> (UnEN[a; an]) = lim ]p> ((a; an]) = lim
f(t)dt.
n-+oo
n-+oo a
On en déduit que l'intégrale généralisée de l'application f sur l'intervalle
[a; +oo( est convergente et
1
+00
a
f(x)dx = IP([a, +oo[).
3. On considère un réel a, une suite décroissante de réels inférieurs à a, vérifiant
4.
lim an= -oo.
n-+oo
La suite ([an; a])nEN est croissante. Ainsi,
IP(] - oo; a]) = ]p> {UnEN[an; a]) = lim ]p> ([an; a]) = lim la f(t)dt.
n-+oo
n-+oo an
On en déduit que l'intégrale généralisée de l'application f sur l'intervalle
] - oo; a] est convergente et
/_~ f(x)dx = IP(] - oo; a[).
1 = IP(IR) = IP(] - oo; O]) + IP(]O; +oo[)
= /_
0
00
f(x)dx + fo+oo f(x)dx = 1_:
00 f(x)dx.
Exemples:
1. Pour tout réel À strictement positif, l'application f>.. définie sur IR par
Vx E IR, f>,(x) = Àe-Àx.ll.JR+(x)
est une densité de la probabilité dont la fonction de répartition FÀ est définie
par
2. L'application g définie sur IR par
Vx E IR,
1
g(x) = 7r(l + x2)
est une densité de la probabilité dont la fonction de répartition G est définie
par
Vx E IR,
1
1
G(x) = :;;: arctan(x) + 2 .