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PROBABILITÉS
22.4.2 Probabilités continues sur (JR, B(JR))
Proposition-définition 22.17 On considère IP' , une probabilité continue de
(IR, B(IR)) et F sa fonction de répartition. Une fonction f continue par morceaux sur lR à valeurs réelles positives vérifiant en tout point x de dérivabilité
de F
f(x) = F'(x),
est appelée fonction de densité de la probabilité IP' . . On a, de plus, les propriétés
suivantes
1. 'v'(a,b) E IR 2 , a< b, IP'([a,b]) = J: f(x)dx.
2. Au voisinage de +oo, l'intégrale généralisée de l'application f est convergente et
'v'a E IR, 1+oo f(x)dx = IP'([a, +oo[).
3. Au voisinage de -oo, l'intégrale généralisée de l'application f est convergente et
'v'a E IR, J~ f(x)dx = IP' (] - oo,a]).
4. r~: f(x)dx = 1.
Preuve.
1. L'application F est continue et ci par morceaux sur [a, b]. Considérons
(ai)o [ai, aHi] vérifiant
'v'x E [ai, aHi], gi(x) = F(x),
'v'x E]ai,aHi[, g~(x) = F'(x) = f(x).
Alors,
n-i
n-i
= L (gi(aiH) - gi(ai)) = L (F(aiH) - F(ai))
i=O
i=O
= F(b)-F(a) = IP'(]-oo,b])-F(a) = IP'(]-oo,a])+IP'(]a,b])-F(a) = IP'(]a,b]).
la remarque 22.4.3(a) permet de conclure.
2. On considère un réel a, une suite croissante de réels supérieurs à a, vérifiant
lim an= +oo.
n-++oo