22.4. PROBABILITÉS SUR (IR, B(JR))
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6.
F(a) = IP(] -oo,a]) = IP(]- oo,a[) +IP({a}).
D'où le résultat.
Corollaire 22.15 On considère une probabilité IP définie sur (!R, B(JR)), F sa
fonction de répartition et a un réel. L'application F est continue en a si et
seulement si IP(a) =O.
Preuve. Évident.
Proposition admise 22.16 On considère une application F définie sur lR
et vérifiant les 4 premières propriétés énoncées dans la proposition 22.14. F
détermine alors une unique probabilité IP sur (IR, B(JR)) telle que,
Va E IR, IP(] - oo, a]) = F(a).
Remarque 22.4 On se restreint désormais aux probabilités IP définies sur l'espace
probabilisable (IR, B(!R)) dont la fonction de répartition est
1. Soit constante par morceaux. On dit alors que IP est une probabilité discrète
sur (IR, B(JR)).
2. Soit continue et C 1 par morceaux sur R On dit alors que IP est une probabilité
continue sur (IR, B(JR)).
3. Dans le cas où la probabilité IP est continue, on a
(a) Pour tout réel a
IP({a}) = 0,
(b)
IP(] - oo, a[) = IP(] - oo, a]),
IP(]a, +oo[) = IP([a, +oo[).
V(a, b) E JR 2 , a< b, IP(]a, b[) = IP(]a, b]) = IP([a, b[) = IP([a, b]).
22.4.1 Probabilités discrètes sur (~, B(~))
On est dans le cadre de la section 22.3