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PROBABILITÉS
Proposition 22.14 On considère une probabilité IP' définie sur (IR., B(IR.)) et F
sa fonction de répartition. On a les propriétés suivantes,
1. F est croissante sur IR..
2.
lim F(a) = 1.
a-++oo
3.
lim F(a) =O.
a--+-oo
4. F est continue à droite sur IR..
5. F admet une limite à gauche en tout réel a avec,
lim F(x) = IP' (] - oo,a[).
x--+a6.
\faEIR, IP'({a})=F(a)- lim F(x).
x--+aPreuve.
1. Soit a et b deux réels vérifiant a ~ b. Nous avons
] - oo,a] c] - oo,b].
Ainsi,
F(a) = IP' (] - oo, a]) ~ IP' (] - oo, b]) = F(b).
2. Soit (an)nEN une suite croissante de réels ayant pour limite +oo. La suite
d'événements (] - oo, anDnEN est croissante. Ainsi,
lim F(an) = lim IP' (] - oo, an]) = 1P' (UnEN] - oo; an]) = IP' (IR.) = 1.
n-++oo
n-++oo
3. Soit (bn)nEN une suite décroissante de réels ayant pour limite -oo. La suite
d'événements (] - oo, bn])nEN est décroissante. Ainsi,
lim F(bn) = lim IP' (] - oo, bn] = 1P' (nnEN] - oo; bn]) = IP'(0) = O.
n-++oo
n-++oo
4. Soit a un réel. On considère une suite décroissante (xn)nEN convergente vers
a. La suite d'événements (] - oo, xnDnEN est décroissante. Ainsi,
lim F(xn) = lim IP' (] - oo, Xn] = 1P' (nnEN] - oo; Xn]) = IP' (] - oo, a])
n-++oo
n-++oo
= F(a).
On en déduit que l'application F est continue à droite en a.
5. On considère a un réel et (Yn)nEN une suite réelle strictement croissante
convergente vers le réel a. La suite d'événements (] - oo, YnDnEN est croissante. Ainsi,
lim F(yn) = lim IP' (] - oo, Yn] = 1P' (UnEN] - oo; Yn]) = IP' (] - oo, a[).
n-++oo
n-++oo
L'application F admet le réel IP' (] - oo, a[ pour limite à gauche en a.