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PROBABILITÉS
4. La suite (An)neN étant décroissante, la suite (A~)neN est croissante. Ainsi,
= lim (1 - IP'(A~)) = lim IP'(An)·
n-+oo
n-+oo
5. D'après la première propriété de la proposition, nous avons
'v'(A, B) E A 2 , IP'(A U B) ~ IP'(A) + IP'(B).
À l'aide d'une récurrence et d'une majoration évidentes, on obtient
n
+oo
'v'n EN, lP' (uk=oAk) ~ L IP'(Ak) ~ L IP'(Ak)·
k=O
k=O
Ce dernier terme étant éventuellement égal à +oo. Ainsi, en passant à la
limite,
22.3 Probabilités sur un espace dénombrable
Proposition 22.11 Soient n un entier strictement positif et n
{ w1 , w2, · · · , Wn} un ensemble fini de cardinal n. Tout n-uplet (ai, a2, · · · , an)
de ~n vérifiant,
1. 'v'kE {1,2, .. ·n} ak ~o,
2. :E~=l ak = 1,
détermine une probabilité sur (n, P(S1)) avec,
On obtient alors
'v'k E {1, 2, .. · n}, JP>( {wk}) = ak.
'v'A E P(n), IP'(A) = L ak.
(k/wkEA)
Exemple : Si n est un ensemble fini, on définit la probabilité uniforme par :
On obtient ainsi
'v'w E S1,
1
IP'({w}) = -dn·
car u
'v'A E P(S1), IP' ( A) = cardA .
cardn