22.2. PROBABILITÉS. ESPACES PROBABILISÉS
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Preuve.
1. Pour tout événement B, les événements E et Be forment un système complet
d'événements. Ainsi,
\f(A, B) E A 2 , IP'(A) = IP'(AnB)+IP'(AnBc) = IP'(AnB)+IP'(A \B). (22.21)
De mêmei
IP'(B) = IP'(B n A)+ IP'(B \A).
(22.22)
De plus,
\f(A, B) E A 2 , (AU B) = (An B) (J (A\ B) (J (B \A).
et
IP'(A U B) = IP'(A n B) + IP'(A \ B) + IP'(B \A).
(22.23)
On en déduit que
IP'(A) + IP'(B) = 21P'(A n B) + IP'(A \ B) + IP'(B \A) = IP'(A n B) + IP'(A u B).
2.
\f(A,B) E A 2 , B = (BnA)ü(BnAc).
Si A est inclus dans B alors,
IP'(B) = IP'(A) + lP' (B n Ac) ~ IP'(A).
3. La suite (An)nEJ\I étant croissante, la suite réelle (IP'(An) )nEJll est croissante
et majorée par 1, donc convergente. L'existence de la limite est justifiée. La
suite (An)nEJll étant croissante, nous avons
UnENAn = ut,:O (Ak+1 \ Ak) ÜAo.
lP' étant une probabilité,
+oo
1P' (UnEJllAn) = IP'(Ao) + L 1P' (Ak \ Ak-1).
k=l
Ainsi,
n
\fn E N*, IP'(Ao) + L lP' (Ak \ Ak-1)
k=l
n
= IP'(Ao) + L (IP'(Ak) - IP'(Ak-1)) = IP'(An)·
k=l
D'où,
n
lP' (UnENAn) = IP'(Ao) + lim '"'lP' (Ak \ Ak-1) = lim IP'(An)·
n~+oo.L...n~+oo
k=l