22.2. PROBABILITÉS. ESPACES PROBABILISÉS
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3. Notons 83 la tribu engendrée par les segments. Remarquons que tout segment
étant une partie fermée de~. appartient à B(~). Ainsi,
83 c B(~).
Tout intervalle de la forme] - oo, a] appartient à 83. En effet
+oo
]- oo,a] = LJ [a-n;a].
n=O
Ainsi,
Puisque 82 = 8, on obtient
83=8.
22.2 Probabilités. Espaces probabilisés
Définition : Soit (n, A) un espace probabilisable. On appelle probabilité
sur (n, A) une application lP définie sur A à valeurs dans [O, 1] vérifiant :
i. JP(n) = 1,
2. Pour toute suite (An)nEl\I d'événements de A deux à deux incompatibles,
lP (ÙnEl\IAn) = L JP(An)·
nEl\I
Le triplet (n, A, JP) est appelé espace probabilisé.
Corollaire 22.8 Soit (n, A, JP) un espace probabilisé. Alors,
1. 1P(0) = 0,
2. Sin est un entier strictement positif et A 1 , · · · , An, n événements deux
à deux incompatibles, on a
n
JP(ù~=lAk) = LlP(Ak)·
k=l
Preuve.
1. Considérons la suite d'événements (An)nEl\I incompatibles deux à deux définie par
'r/n EN, An= 0.
Alors,
+oo
JP(ÙnEl\IAn) = L JP(0).
n=O