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PROBABILITÉS
D'autre part, tout ouvert de JE étant union dénombrable de boules ouvertes est
élément de B1. Ainsi
B(JE) c B1.
D'où,
B1 = B(JE).
La tribu 8 1 est la tribu des boréliens de JE.
Proposition 22. 7
1. La tribu des boréliens sur JR, notée B(JR), est la tribu
engendrée par l'ensemble des intervalles ouverts de la forme ]a, b[.
2. La tribu des boréliens sur lR est la tribu engendrée par l'ensemble des
intervalles fermés de la forme ] - oo, a].
3. La tribu des boréliens sur lR est la tribu engendrée par l'ensemble des
segments de R
Remarque 22.3 On pourrait énoncer cette proposition avec d'autres types d'intervalles. ] - oo, a[, [a; b[ etc.
Preuve.
1. Notons B1 la tribu engendrée par les intervalles de la forme ]a, b[, c'est-à-dire
les boules ouvertes. D'après le corolaire 22.6,
B1 = B(JR).
La tribu B1 est la tribu des boréliens de R
2. Notons B2 la tribu engendrée par les intervalles de la forme ] - oo, a]. Remarquons que tout intervalle de la forme ] - oo, a] étant complémentaire d'une
partie ouverte de lR est élément de B(JR). Ainsi,
Tout intervalle de la forme] - oo, a[ appartient à B2. En effet,
l -oo a[ = U -oo a - - .
+oo]
1 ]
'
n=O
'
2n
Par passage au complémentaire, les intervalles de la forme
]a, +oo[ et [a, +oo[
appartiennent à 8 2 . On en déduit que toute boule ouverte ]a, b[ appartient
à B2. En effet,
]a, b[=] - oo, b[n]a, +oo[.
Ainsi, B(JR) la tribu des boréliens de lR étant la tribu engendrée par les boules
ouvertes est incluse dans B2. On obtient ainsi,
La tribu B2 est la tribu des boréliens de R