22.1. TRIBUS. ESPACES PROBABILISABLES. ÉVÉNEMENTS
Pour tout élément i de I, Ai étant une tribu, on a
On en déduit que
(UneNAn) E (niEIÂi) ·
Nous venons de prouver que (nieIAi) est une tribu den.
399
Proposition-définition 22.3 On appelle tribu engendrée par un ensemble C
de P(n) la plus petite tribu de parties den contenant C. C'est l'intersection de
toutes les tribus contenant C.
Preuve. P(n) est une tribu contenant C. On en déduit que l'ensemble des tribus
contenant C est non vide. L'intersection des tribus contenant C est ainsi la tribu
engendrée par C.
•
Proposition 22.4 Si n est fini ou dénombrable, alors l'ensemble des singletons engendre P(n).
Preuve. On considère n un ensemble fini ou dénombrable et A la tribu engendrée
par les singletons. Soit A une partie de n. Cette partie est finie ou dénombrable.
Elle s'écrit ainsi comme une union au plus dénombrable de singletons. Elle appartient donc à A. On en déduit que A= P(n).
•
Il
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. On appelle tribu des
boréliens, la tribu engendrée par les ouverts. Elle est notée B(E).
Remarque 22.2 Sin muni d'une métrique forme un espace métrique séparable,
c'est-à-dire contenant une partie dénombrable dense, on choisit la tribu des boréliens. C'est en particulier le cas pour IR, les intervalles de IR, !Rn.
Proposition admise 22.5 Dans un espace métrique séparable, tout ouvert est
réunion dénombrable de boules ouvertes.
Cette proposition étant admise, nous obtenons le corollaire
Corollaire 22.6 Dans un espace métrique séparable (JE, d), la tribu des
boréliens B(IE) est la tribu engendrée par les boules ouvertes.
Preuve. Notons B1 la tribu engendrée par les boules ouvertes. Toute boule ouverte
étant un ouvert, on a
Bic B(IE).
Pour tout élément i de I, Ai étant une tribu, on a
On en déduit que
(UneNAn) E (niEIÂi) ·
Nous venons de prouver que (nieIAi) est une tribu den.
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Proposition-définition 22.3 On appelle tribu engendrée par un ensemble C
de P(n) la plus petite tribu de parties den contenant C. C'est l'intersection de
toutes les tribus contenant C.
Preuve. P(n) est une tribu contenant C. On en déduit que l'ensemble des tribus
contenant C est non vide. L'intersection des tribus contenant C est ainsi la tribu
engendrée par C.
•
Proposition 22.4 Si n est fini ou dénombrable, alors l'ensemble des singletons engendre P(n).
Preuve. On considère n un ensemble fini ou dénombrable et A la tribu engendrée
par les singletons. Soit A une partie de n. Cette partie est finie ou dénombrable.
Elle s'écrit ainsi comme une union au plus dénombrable de singletons. Elle appartient donc à A. On en déduit que A= P(n).
•
Il
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. On appelle tribu des
boréliens, la tribu engendrée par les ouverts. Elle est notée B(E).
Remarque 22.2 Sin muni d'une métrique forme un espace métrique séparable,
c'est-à-dire contenant une partie dénombrable dense, on choisit la tribu des boréliens. C'est en particulier le cas pour IR, les intervalles de IR, !Rn.
Proposition admise 22.5 Dans un espace métrique séparable, tout ouvert est
réunion dénombrable de boules ouvertes.
Cette proposition étant admise, nous obtenons le corollaire
Corollaire 22.6 Dans un espace métrique séparable (JE, d), la tribu des
boréliens B(IE) est la tribu engendrée par les boules ouvertes.
Preuve. Notons B1 la tribu engendrée par les boules ouvertes. Toute boule ouverte
étant un ouvert, on a
Bic B(IE).