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SÉRIES DE FOURIER
Ainsi,
Vn EN*,
et
D'autre part,
1
1
211" .
[ eipt ] 211"
iptdt -
- 0
-2
e
- -2.
- ·
7r 0
ip7r 0
Ainsi,
VpEZ,
Par linéarité de l'intégrale et de la limite d'une suite convergente, nous pouvons
prolonger ce résultat aux polynômes trigonométriques.
On considère désormais une application f continue sur lR et 27r-périodique. Nous
savons, d'après le théorème de Féjer que nous pouvons l'approcher uniformément
par une suite de polynômes trigonométriques. Soit c un réel strictement positif et
Pe un polynôme trigonométrique vérifiant
Vt E JR, l/(t) - Pe(t)I ~ c.
Alors, d'une part,
Vn EN*,
l n-1
lun(f) - Un(Pe)I ~ n Lé= c,
k=O
d'autre part,
'
_..!:._ f
2
11" f(t)dt - 2
1 f
2
11" Pe(t)dt' ~ _..!:._ {
2
11" cdt = é.
27r lo
7r lo
211" lo
Considérons un entier naturel N vérifiant
Alors,
Vn 2 N, lun(f) - 2 ~ 1
2
11" f(t)dtl
~ lun(f) - Un(Pe)I + lun(Pe) - 2 ~ 1
2
11" Pe(t)dtl
+ 1 2 ~ 1
2
11" Pe(t)dt - 2 ~ 1
2
11" f(t)dtl
~ 3c.
Nous obtenons le résultat désiré.