21.6. APPLICATIONS
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En utilisant le résultat précédent pour k = 1, 2 et 3, nous obtenons
Pour tout entier N strictement positif, nous avons
2N l
N
l
N
l
~ n 6 = ~ (2n) 6 + ~ (2n-1) 6 '
c'est-à-dire,
N
1
2N 1
1 N 1
~ (2n - 1)6 = ~ n6 - 64 ~ n6 ·
En passant à la limite, nous obtenons
21.6.2 Valeur moyenne d'une fonction périodique continue
Exercice 21.2 Soit a un réel tel que ~ soit irrationnel. Soit f une application continue
sur lR et 211'-périodique. On pose :
l n-1
Vn E N* Un(!) = n L !(ka).
k=O
Montrer que la suite (un(!)) converge vers la valeur moyenne de f sur une période,
c'est-à-dire
1 1211'
lim Un(!) = - 2
f(t)dt.
n->+oo
11' 0
On pourra commencer par le cas où f est un monôme trigonométrique puis un polynôme trigonométrique.
Solution. Le résultat est évident pour les applications constantes. On considère
p un entier non nul et le monôme trigonométrique ep que l'on a défini par,
Le réel ~ étant irrationnel, le réel pa ne peut appartenir à 27rZ.
Vn EN*,
( ) - 1 nL::-1 ipka - 1 eipna - 1
Unep-e
- - . .
n
n e'P°' - 1
k=O