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SÉRIES DE FOURIER
Ainsi,
On en déduit que
' 1
cp(fn) = - 2 . cvUn-1).
ipn
La suite (cp(fn))n?.1 est géométrique, de raison 2 i~.,..· Il reste à obtenir son
premier terme. À l'aide d'un calcul simple,
Vt E IR,
Ainsi,
1 1
2 71" ( t
1)
.
1 1
2 71" t
.
c (!1) = -
- - - e-iptdt = -
-e-iptdt
P
2n 0
2n
2
2n 0
2n
- -1 [ -ipt]271"
1 1271" -iptd - -1
- - 4 · 2 te
o +-4· 2
e
t - - 2
. .
ipn
ipn
0
ipn
On en déduit que pour tout entier p non nul,
\:/n ~ 1,
4. Pour tout entier naturel k strictement positif, l'application hk, élément de
V, est C 1 par morceaux. Nous pouvons appliquer le théorème de Dirichlet.
+oo
\:/k ~ 1, P2k(O) = hk(O) = co(f2k) + L (cp(f2k) + cvU-2k))
p=l
+oo
-1
-1
(-l)k+l +oo 1
= L (2ipn)2k + (-2ipn)2k = 22k-ln2k L p2k ·
p=l
p=l
On en déduit que
5. Explicitons les premiers termes de la suite (Pn)nElll·
\:/t E IR, P1(t) = t - !,
\.J
( )
t 2
t
1
vt E IR, P2 t = 2 - 2 + 12 ,
( )
t 3
t 2
t
\:/t E IR, P3 t = 6 - 4 + 12 ,
( )
t4
t3
t2
1
Vt E IR, P4 t = 24 - 12 + 24 - 120,
( )
t 5
t 4
t 3
t
Vt E IR, Ps t = 120 - 48 + 12 - 120,
( )
t 6
t 5
t 4
t 2
1
Vt E IR, P6 t = 120 - 240 + 288 - 1440 + 30240 ·