21.6. APPLICATIONS
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4. Montrer que pour tout entier k strictement positif,
5. Calculer
+oo 1
Ln2'
n=l
+oo 1
Ln4'
n=l
+oo 1
Ln6'
n=l
+oo
1
~ {2n-1) 6 '
Solution.
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
3.
(a)
et
On en en déduit que
{b) Il est évident que l'application ln est continue sur l'intervalle ]O; 27r[.
D'après {2.a), elle est continue en O. L'application ln est donc continue
en tout point de l'intervalle [O; 27r[, 27r-périodique donc continue sur ~.
i r27r
i r27r
t
rl
' Soit p un entier non nul. Montrons que la suite (cp(/n))n"2I est géométrique.
On considère n un entier supérieur ou égal à 2. L'application ln vérifie les
hypothèses de la proposition 21.8. Considérons 9n un élément de V vérifiant
Vt E]O; 27r[, l~(t) = 9n(t).
Nous avons
D'autre part,
î/t E]0;27r[, 9n(t) = l~(t) = 2 ~P~ ( 2 ~) = 2 ~Pn-1 ( 2 ~) = 2 ~1n-1{t).