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SÉRIES DE FOURIER
Définition : Soient f un élément de V, (Pn) la suite des sommes partielles de sa série de Fourier. On note (an(!)) la suite des sommes de
Cesaro (Pn)(f).
Vn E N,Vx E ~.
l n-1
O'n(f)(x) = n LPk(f)(x).
k=O
Théorème 21.21 (Théorème de Féjer). Soit f un élément de V. Alors la
somme de Cesaro de la série de Fourier de f
l n-1
O'n(f) = - L Pk(f)
n k=O
converge simplement vers f sur~. D'autre part, si la restriction de l'application
f sur un intervalle I est continue, alors la convergence est uniforme sur cet
intervalle.
21.6 Applications
21.6.1 Sommes exactes de séries numériques convergentes
Exercice 21.1 On considère la suite de fonctions polynomiales (Pn)nEN définies par,
{
Vt E ~.
Vn ~ 1,
Vn ~ 1,
Po(t) = 1,
P~ = Pn-1,
f 0
1 Pn(t)dt =O.
1. Vérifier que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, Pn(l) = Pn(O).
Pour tout entier naturel strictement positif n, on note fn, l'élément de V défini
par
Vt E]O; 2rr[, fn(t) = Pn ( 2 ~).
2. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2,
(a) fn(O) = Pn(O),
(b) l'application fn est continue sur R
3. Montrer que, pour tout entier strictement positif n, les coefficients de Fourier
de l'application f n vérifient,
{
co(fn) = 0,
Vp E Z*, Cp(/n) = (2i;,1;)n.