21.5. SÉRIE DE FOURIER D'UN ÉLÉMENT DE V
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2. Si f est une application impaire,
\ln EN, an= O.
3. les suites (an)nEN et (bn)nEN* ont les propriétés asymptotiques indiquées dans
la section 21.3.
Définition : On appelle série de Fourier associée à f, élément de V, la
série trigonométrique
Co+ L (cn(f)einx + C-nU)e-inx) =
nEN*
ao;f) + L (an(!) cosnx + bn(f) sin nx).
nEJll*
Proposition 21.18 Soit f élément de V. La suite des sommes partielles associée à la série de Fourier de f est la suite des projections (Pn (!) )nEN :
k=n
\ln EN* \lx E lR., Pn(f)(x) = L Ck(j)eikx
k=-n
= ao;f) + t ak(f) cos kx + bk(f) sin kx.
k=i
21.5.2 Théorèmes de convergence d'une série de Fourier
Il suffit de reprendre la section 21.4 pour obtenir les résultats suivants.
Théorème 21.19 {Dirichlet). Soit f un élément de V de classe ci par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge simplement vers f sur lR. :
\lx E JR., f(x) = co(f) + L (cn(f)einx + C-nU)e-inx)
n;::::i
= ao;f) + L (an(!) cosnx + bn(f) sin nx).
nEJll*
Théorème 21.20 {Dirichlet). Soit f une fonction définie sur JR., 211"périodique, de classe ci par morceaux et continue. Alors la série de Fourier
de f converge normalement vers f sur JR..