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SÉRIES DE FOURIER
(f(x + 2t) - f(x+)) + (f(x - 2t) - f(x-)) t
t
sin t ·
Cette application admet pour limite 2(/'(x+) - f'(x-)) lorsque la variable
t tend vers 0 par valeurs positives. On peut ainsi définir l'application 9x,
élément de V, par
Vt ]o . 2 [
(t) _ 1
(t) f(x + 2t) + f(x - 2t) - 2f(x)
E , 7r, 9x
- JO;~] ·
• t
sm
En reprenant (21.20), nous obtenons,
Vn EN, Pn(/)(x) - J(x) = C2n+i(9x) - ~-(2n+1)(9x)
i
En utilisant la proposition 21.7, nous obtenons le résultat désiré.
2. Supposons f continue sur JR.
n
Vn EN*, Vx E lR., Pn(/)(x) = co(f) + L ck(f)eikx + c_k(f)e-ikx.
k=l
Or,
En utilisant le corollaire 21.9, on obtient la convergence normale sur lR. de la
série
co(f) + Lck(f)eikx +c-k(f)e-ikx.
k;?:l
Ce qui termine la preuve.
21.5 Série de Fourier d'un élément de D
21.5.1 Définitions
Définition : Soit fun élément de V. On appelle coefficients de Fourier
de f, les nombres complexes définis par :
1. Vn E Z, Cn(/) =< en, f >= 2 ~ J~1r J(t)e-intdt,
2. Vn EN, an(!)= en(!)+ C-nU) = ~ J~1r f(t) cosntdt,
3. VnEN*, bn(f)=i(cn(f)-c_n(f))=~J~1rf(t)sinntdt.
Remarque 21.2
1. Si f est une application paire,
Vn E N*, bn = O.