21.4. NOYAUX DE DIRICHLET ET DE FÉJER, APPROXIMATION DE L'UNITÉ
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La suite ( 2 ~Dn)nEN n'étant pas une approximation de l'unité, la convergence
simple de la suite (PnU))nEN est établie avec des hypothèses plus fortes que celles
énoncées dans le théorème de Féjer.
Théorème 21.17 (Jordan-Dirichlet) Soit f un élément de V de classe C 1 par
morceaux sur~. Alors,
1.
\lx E~,
lim Pn(f)(x) = f(x).
n-++oo
2. Si, de plus, l'application f est continue sur~. la convergence est normale
sur~.
Preuve.
1. Soit x un réel.
VnEN,
1
Pn(f)(x) = 2 7f (Dn * f)(x)
1 111"
1 10
1 111"
= - 2
f(x-t)Dn(t)dt = 2
f(x-t)Dn(t)dt+2
f(x-t)Dn(t)dt.
7f -11"
7f -11"
7f 0
En utilisant le changement de variable u = -t, nous obtenons
i r
i r
\ln EN, PnU)(x) = 2 7f Jo f(x + u)Dn(u)du + 2 7f Jo f(x - t)Dn(t)dt
1 r
= 2 7f Jo (f(x + t) + f(x - t)) Dn(t)dt.
Grâce aux propriétés 1 et 2 de la proposition 21.12,
ir
\ln EN, f(x) = 2 7f Jo 2f(x)Dn(t)dt.
Ainsi,
i r
\ln EN, Pn(f)(x) - f(x) = 2 7f Jo (f(x + t) + f(x - t) - 2/(x)) Dn(t)dt
= 2_ 111" f(x + t) + f~x; t) - 2/(x) sin(2n + l)!dt
27f 0
sm 2
2
= _!_ [1i f(x + 2t) + f~x - 2t) - 2/(x) sin( 2 n + l)tdt.
7f lo
smt
(21.20)
L'application f étant un élément de V nous avons 2/(x) = f(x+) + f(x-).
Ainsi,
·
f(x + 2t) + f(x - 2t) - 2/(x)
sint