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SÉRIES DE FOURIER
3. Supposons désormais que les entiers naturels k et n vérifient k :::; n - 1. Alors
2 ~~t~) : : : ; 1 et
w
[ 2krr . 2(k + l)rr]
vt E 2n + 1' 2n + 1 ' 1
. t 1
. t
sm 2 = sm 2
<
.
. ( (k + l)rr)
(k + l)rr
-
2n+ 1 - 2n+ 1
Puis,
f
2~kn+;f" 1 sin ( 2 n/l) t 1
(2n + 1) f 2~kn+;f" , . (2n + 1) 1
dt>
sm - - t dt
2k"
sin (- 2 t)
- (k + l)rr 2k7r
2
2n+l
2n+l
4
=...,....--..,...(k+l)rr"
4. Pour tout entier n strictement positif,
Nous obtenons
1" IDn(t)I dt~ 1 clnn+l) IDn(t)I dt
n-1 2(k+llj
n-1
J
(2n+l
4
= L 2k1r IDn(t)I dt~ L (k + l)rr.
k=O (2n+1)
k=O
lim r IDn(t)I dt= +oo.
n-++oo}o
Nous remarquons que, dans la définition d'une approximation de l'unité Tpériodique (page 276), l'assertion 1 n'est pas vérifiée.
5. On peut remarquer que l'assertion 3 n'est pas vérifiée non plus. Considérons
a: un réel strictement positif et strictement inférieur à rr.
n-1
4
n-1
rk+l 4dt
~
L
(k + l)rr ~
L
Jk rr(t + 1)
k=E(a<;:+ll)+l
k=E(a<;:+ll)+l
- r
4dt -i1n(
n+l
)
- } E( a(2 2 n,,+1) )+1 rr(t + 1) - 7r
E ( a{2;.,+1)) + 2
Cette dernière suite est convergente vers le réel
~ln(;) >O.
On en déduit que la suite de terme général U: IDn(t)ldt) ne peut converger
vers O.