21.4. NOYAUX DE DIRICHLET ET DE FÉJER, APPROXIMATION DE L'UNITÉ
387
Ainsi, en utilisant la proposition 21.12,
Vn EN*, Vx E [œ,71'], 0 S Kn(x) S
. 2 ( ) •
nsm ~
1
Ainsi,
Nous obtenons
1 111'
lim - 2
Kn(x)dx =O.
n-++oo 11' a
Le noyau (Kn)nEN* étant composé d'applications paires, l'assertion 3 de la
définition est vérifiée. La suite ( 2 ~ Kn)nEN* est une approximation de l'unité
271'-périodique.
2. Il suffit d'appliquer la proposition 16.10, page 277.
3. Idem.
Corollaire 21.15 Soient f et g deux éléments de V vérifiant
alors f = g.
Preuve. On a,
Vn E N, Pn(f) = Pn(g).
Il suffit d'appliquer le théorème précédent pour conclure.
21.4.3 Noyau de Dirichlet
Proposition 21.16 La suite ( 2 ~Dn)nEN n'est pas une approximation de
l'unité.
Preuve. En effet,
1. L'application t 1-t 1 sin ti est 71'-périodique et J 0 11' 1 sin tjdt = 2.
2. Ainsi, pour tous entiers positifs k et n on obtient, en utilisant le changement
de variable x = ( 2 n:il) t,
2(k+l)"
{k+l)
J
2n+1 1
( 2n + 1) 1
2 1
11'
4
sin - - t dt= - -
1 sinxjdx = - 2 1
2kw
2
2n + 1 k'll'
n +
2n+l
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Ainsi, en utilisant la proposition 21.12,
Vn EN*, Vx E [œ,71'], 0 S Kn(x) S
. 2 ( ) •
nsm ~
1
Ainsi,
Nous obtenons
1 111'
lim - 2
Kn(x)dx =O.
n-++oo 11' a
Le noyau (Kn)nEN* étant composé d'applications paires, l'assertion 3 de la
définition est vérifiée. La suite ( 2 ~ Kn)nEN* est une approximation de l'unité
271'-périodique.
2. Il suffit d'appliquer la proposition 16.10, page 277.
3. Idem.
Corollaire 21.15 Soient f et g deux éléments de V vérifiant
alors f = g.
Preuve. On a,
Vn E N, Pn(f) = Pn(g).
Il suffit d'appliquer le théorème précédent pour conclure.
21.4.3 Noyau de Dirichlet
Proposition 21.16 La suite ( 2 ~Dn)nEN n'est pas une approximation de
l'unité.
Preuve. En effet,
1. L'application t 1-t 1 sin ti est 71'-périodique et J 0 11' 1 sin tjdt = 2.
2. Ainsi, pour tous entiers positifs k et n on obtient, en utilisant le changement
de variable x = ( 2 n:il) t,
2(k+l)"
{k+l)
J
2n+1 1
( 2n + 1) 1
2 1
11'
4
sin - - t dt= - -
1 sinxjdx = - 2 1
2kw
2
2n + 1 k'll'
n +
2n+l