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SÉRIES DE FOURIER
Proposition 21.13 Pour tout élément f de V et pour tout entier strictement
positif n, nous avons
1
21f Dn * f = PnU)
1
1 n-1
et - 2 Kn * f = - LPk(f).
7r
n k=O
Preuve. Soit n un entier strictement positif et x un réel.
1
1 1271' n
n
1 1271'
- (Dn * f) (x) = -
L eik(x-t) f(t)dt = L eikx_
e-ikt f(t)dt
27r
21f 0 k=-n
k=-n
21f 0
n
= L ck(f)ek(x) = Pn(f)(x).
k=-n
La deuxième égalité est évidente.
21.4.2 Noyau de Féjer
Théorème 21.14 {Théorème de Féjer)
1. La suite ( 2 ~Kn)nEN* est une approximation de l'unité 27r-périodique.
2. Pour tout élément f de V,
\lx ER.,
n-1
lim .!_ '""'Pk(f)(x) = f(x).
n->+oo n ~
k=O
3. D'autre part, si la restriction de l'application f sur un intervalle I est
continue, alors la convergence est uniforme sur cet intervalle.
Preuve.
1. Reprenons la définition d'une approximation de l'unité 27r-périodique indiquée page 276. D'après la proposition 21.12,
Le noyau (Kn)nEN* étant positif, les assertions 1 et 2 de la définition sont
vérifiées.
Soit a un réel strictement positif et inférieur à 7r. Alors
\ln EN*, \lx E [a, ?r], 0