21.4. NOYAUX DE DIRICHLET ET DE FÉJER, APPROXIMATION DE L'UNITÉ
385
2.
1 {27'
1 {27'
2 71' Jo Do(x)dx = 2 71' Jo dx = 1.
Pour tout entier k non nul,
2_ 121' ikx - 2_ [ eikx ] 27' -
2
e dx - 2
.k
- O.
71' 0
71'
i
0
Pour tout entier n strictement positif,
1 127'
1 127'
1 n 121' .
.
-
Dn(x)dx = -
dx + - L (eikx + e-ikx) dx = 1.
271' 0
271' 0
271'
0
k=l
Puis,
1 127'
1 n-1 1 127r
- 2
Kn(x)dx = - 2::- 2 Dk(x)dx = 1.
71' 0
n k=O 71' 0
3. Soit x un réel n'appartenant pas à 27l'Z. Dn(x) est somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison eix # 1. Ainsi,
n .
. e(2n+l)ix - 1
Dn(x) = ' °"' e•kx = e-inx __ . __ _
~
eiX -1
k=-n
. e< 2n2+1 )ix ( e< 2nll )ix - e<- 2nll )ix)
= e-inx.
.
io:
-io:
elf
eT - e-2e<~)ix - e<-~)ix
sin(2n + 1)~
i:l:
-ix
eT - e-2sin~
4. Soit x un réel n'appartenant pas à 27l'Z.
l n-1
Kn(x) = - L Dk(x)
n k=O
1 ~
X
1
(~ .(2k+1)0:)
= - . -x ~sin(2k+ 1)- = - . -x <;)' ~ei 2
•
nsm- 2
2
nsm- 2
k
k=O
=0
Le nombre eix, raison de la suite géométrique ( ei C
2
ktl)o: )kEN étant différent
de 1,
•
X
- in~ smn2
- e
• X •
sm 2
On en déduit que
( ~·~)
<;)' ~ e' 2
k=O
Nous obtenons ainsi le résultat désiré.
sin 2 n>f. 2
sin~