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SÉRIES DE FOURIER
21.4 Noyaux de Dirichlet et de Féjer,
approximation de l'unité
21.4.1 Définitions, premières propriétés
Définition : On appelle noyau de Dirichlet la suite (Dn)nEJ\I de polynômes trigonométriques définie par
n
VnEN,VxEIR, Dn(x)= L eikx.
k=-n
On appelle noyau de Féjer la suite (Kn)nEJ\I* de polynômes trigonométriques définie par
't:/n E N*, 't:/x E IR,
l n-1
Kn(x) = n L Dk(x).
k=O
Voici les premières propriétés de ces noyaux.
Proposition 21.12
1. Pour tout entier naturel n, les applications Dn et
Kn sont paires.
2.
3.
4.
Preuve.
1 [27r
't:/n EN, 2 71" Jo Dn(x)dx = 1,
1 [27r
't:/n EN*, 2 71" Jo Kn(x)dx = 1.
't:/n E N, 't:/x E lR \ 2rrZ,
( ) sin(2n + 1)~
Dn X =
. x
.
sm 2
't:/n E N*, 't:/x E lR \ 2rrZ,
• 2 X
( )
sm n 2
Kn X =
2
•
nsin ~ 2
1. La preuve est évidente pour n = O. Soit n un entier strictement positif.
n
't:/x E IR, Dn(x) = 1 + L (eikx + e-ikx).
k=l
Ainsi Dn, somme d'applications paires est également paire. L'application Kn
est paire puisqu'elle est combinaison linéaire d'applications paires.