21.3. PROPRIÉTÉS ASYMPTOTIQUES DE LA SUITE (CN)NEZ
383
Corollaire 21.9 Soit f une fonction définie sur JR, 2tr-périodique, de classe
C 1 par morceaux et continue. Alors les séries Ln>O Cn (!) et Ln>o C-n (!) sont
absolument convergentes.
-
-
Preuve. Reprenons les notations de la proposition précédente. Pour tout entier n
non nul,
La convergence des séries Ln>O lcn (g) 1 2 et Ln>O lc-n (g) 1 2 (théorème 21.6) permet
de conclure.
-
-
4' t
Proposition 21.10 Soit p un entier strictement positif. Si f est une fonction
2tr-périodique de classe CP alors
Preuve. La preuve s'effectue par récurrence évidente en utilisant la proposition
21.8
•
Corollaire 21.11 Soit p un entier strictement positif. Si f est une fonction
2tr -périodique de classe CP alors
Preuve. Il suffit d'utiliser le corollaire précédent et la proposition 21.7.