382
SÉRIES DE FOURIER
Proposition 21. 7 Pour tout élément f de V, les suites (cn)neN et (c-n)neN
sont convergentes vers O.
Preuve. C'est une conséquence immédiate de l'égalité de Parseval.
Proposition 21.8 Soit f une fonction définie sur IR, 2rr-périodique, de classe
ci par morceaux et continue. On considère
0 = ao < ai · · · < ap = 2rr
une subdivision adaptée à f sur le segment [O; 2rr] et g un élément de V vérifiant
\:/k E {O, .. · ,p- 1}, \:/x E]ak; ak+i[, J'(x) = g(x).
Alors pour tout entier n non nul,
Preuve. Soit n un entier non nul. Pour tout entier k compris entre 0 et (p - 1)
on obtient, à l'aide d'une intégration par parties
On obtient,
f(2rr) - f(O)
1 1 2 ,. ( ) -intd
= -
.
+-:gte
t
in
in 0
1 121T
= -:g(t)e-intdt.
in 0
D'où le résultat.