Ainsi,
1 1ao+211"
llfn - fil~= - 2
lfn(x) - f(x)l2dx
7r ao
1 k r;+-!';
k
2
= 2 7r ~la;-!; lfn(x) - f(x)l
2 dx:::; 2 7r .411/ll~·n·
On en déduit que la suite Un)n"?.N converge vers f. Ainsi C est dense dans
V.
Théorème 21.5 Pour tout élément f de l'espace préhilbertien V, la suite
(PnU))nEN est convergente dans cet espace vers f.
Preuve. Soient f un élément de V et c un réel strictement positif. Le sous-espace
Pétant dense dans V, il existe un polynôme trigonométrique Qe vérifiant
Notons ne le degré de Qe. Pour tout naturel n supérieur à ne, Qe est élément du
sous-espace Pn· Ainsi,
Ceci termine la preuve.
21.3 Propriétés asymptotiques de la suite ( Cn)nEZ
Théorème 21.6 (Égalité de Parseval). Soit f un élément de V. Les séries
I:n"?.l lcn(/)1 2 et I:n"?.l lc-n(/)1 2 sont convergentes avec
Preuve. Soit f un élément de V. D'après le théorème 21.6, la suite (PnU))nEN
converge vers f dans l'espace préhilbertien V. La norme 11-112 est une application
continue dans cet espace. Ainsi,
lim llPn(/)11~ = 11/11~n-++oo
C'est-à-dire
lim ~ lck(/)12 = 2
1 {
2
... lf(t)i2dt
n-++oo ~
7r}o
k=-n