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SÉRIES DE FOURIER
Preuve. Soient f un élément de V et n un entier naturel. Pn (!) appartient à
P(n+l). Ainsi,
La question qu'il est alors légitime de se poser est la suivante : pour tout élément
f de V, la suite (PnU))nEN converge-t-elle vers f dans l'espace préhilbertien V?
Pour y répondre, voici deux propositions :
Proposition 21.4 Le sous-espace vectoriel P des polynômes trigonométriques
est dense dans l'espace préhilbertien V.
Preuve. Notons C le sous-espace vectoriel de V constitué des applications continues sur~ à valeurs dans Cet 211'-périodiques. Pour montrer que Pest dense dans
V, il suffit d'établir d'une part que P est dense dans C et d'autre part que C est
dense dans V.
1. Soit f un élément de C. D'après le théorème de Féjer que nous verrons
plus loin dans ce chapitre (théorème 21.14, page 386), la suite d'éléments de
P, ( ~ L:~,:~ Pk (!) )nEN* converge uniformément sur ~ vers f donc converge
également vers f en norme 11·112 (proposition 16.15, page 285). Ainsi, Pest
dense dans C.
2. Montrons que C est dense dans V. Soit fun élément de V. Considérons a 0
un point de continuité de f puis
ao < ai < · · · < ak < ak+l = ao + 211'
une subdivision adaptée à f sur le segment [ao, ao + 211']. Soit N un entier
positif vérifiant -k S 2mino:=:;i9(aHi - ai)· Pour tout entier n supérieur à
N, on définit fn l'élément de C tel que fn et f coïncident sur les segments
suivants:
[ao, ai - ~],
[ai+ ~,ai+i - ~[pour tout entier i compris entre 1 et (k-1),
[ak + n;.ak+il·
et pour tout élément i appartenant à {1, · · · , k },
l
1
1 [ fn(x) -- n ((ai +2~) - x) f (a, - _nl)
Vx E ai - -,ai+ - ,
.
n
n
Il est évident que
Vx E ~. lfn(x)I S 11/lloo·