21.2. PROPRIÉTÉS DE L'ESPACE PRÉHILBERTIEN V
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Proposition 21.2
1. La famille (ek)kEZ est orthonormée.
2. (a) Pour tout entier naturel n, on a
V= Pn œPj;.
{b) La projection orthogonale Pn sur P n vérifie
k=n
Vf E 'D, Pn(f) = L Ck(f)ek.
k=-n
3.
Vf E 'D,Vn EN, Il/ - Pn{/)112 = inf Il/ - 9112·
gEPn
4. (Inégalité de Bessel} Pour tout élément f de V, les séries En>l len(f)l2
et En~l lc-n(/)1 2 sont convergentes avec
-
Remarque 21.1 Pour la dernière assertion, nous avons plus de précision avec
l'égalité de Parseval {Théorème 21.6).
Preuve.
1.
VkEZ,
Soient p et q deux entiers distincts.
1 1211"
1 [ ei(q-p)t] 211"
- -
i(q-p)tdt - -
- 0
< ep, eq >- 2
e
- 2
"(
)
- .
7ro
7riq-po
La famille (ek)kEZ est ainsi orthonormée.
2. Utiliser les propositions 20.12, page 357 et 20.13, page 359.
3. Utiliser la proposition 20.14, page 360
4. Utiliser l'inégalité de Bessel, théorème 20.15, page 361.
Corollaire 21.3 Pour tout élément f de V, la suite définie pour tout entier
naturel n par
Il/ - Pn(/)112
est positive et décroissante.