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SÉRIES DE FOURIER
2. En reprenant la définition d'un produit scalaire dans un
considérons un élément f de V vérifiant < f, f >= O. Choisissons a 0 un
point de continuité de f et
ao < ai < · · · < an = ao + 211"
une subdivision adaptée à l'application f sur le segment (ao; ao + 211"]. On
considère pour tout entier naturel k strictement inférieur à n, l'application
fk continue sur le segment [ak; ak+i] et coïncidant avec f sur l'intervalle
]ak; ak+i[·
1
ao+2w
:::;
lf(t)i 2 dt= o.
ao
La continuité de chaque application fk permet d'écrire
'ik E {O, · · · n - 1 }, Vt E (ak; ak+1J, fk(t) =O.
Ainsi,
VkE{O,···n-1},VtE]ak;ak+i[, f(t)=O.
L'application f étant élément de V et continue en ao,
{
f(ao) = f((ao)+) = 0,
Vk E {1, .. ·n -1}, f(ak) = f((ak)+)~f((ak)-) =O.
L'application f est nulle sur l'intervalle [ao; ao + 211"[ et 27r-périodique. Elle
est ainsi nulle sur ~21.2 Propriétés de l'espace préhilbertien D
Notations:
1. Pour tout k élément de Z, on note ek, l'élément de V défini par :
On appelle polynôme trigonométrique, toute combinaison linéaire
d'éléments de (ek)kEZ·
2. On note P le sous-espace vectoriel de V engendré par la famille (ek)kEZ
c'est-à-dire P = Vect(ek)kEZ·
3. Pour tout entier naturel n, on note Pn le sous-espace vectoriel de 'D
engendré par la famille (ek)-n:5k:5n c'est-à-dire Pn = Vect(ek)-n:$k:5n·
4. Pour tout élément f de D, on note
1 [2 ...
Vk E Z, ck(f) =< ek, f >= 2 11" lo f(t)e-iktdt.
SÉRIES DE FOURIER
2. En reprenant la définition d'un produit scalaire dans un
considérons un élément f de V vérifiant < f, f >= O. Choisissons a 0 un
point de continuité de f et
ao < ai < · · · < an = ao + 211"
une subdivision adaptée à l'application f sur le segment (ao; ao + 211"]. On
considère pour tout entier naturel k strictement inférieur à n, l'application
fk continue sur le segment [ak; ak+i] et coïncidant avec f sur l'intervalle
]ak; ak+i[·
1
ao+2w
:::;
lf(t)i 2 dt= o.
ao
La continuité de chaque application fk permet d'écrire
'ik E {O, · · · n - 1 }, Vt E (ak; ak+1J, fk(t) =O.
Ainsi,
VkE{O,···n-1},VtE]ak;ak+i[, f(t)=O.
L'application f étant élément de V et continue en ao,
{
f(ao) = f((ao)+) = 0,
Vk E {1, .. ·n -1}, f(ak) = f((ak)+)~f((ak)-) =O.
L'application f est nulle sur l'intervalle [ao; ao + 211"[ et 27r-périodique. Elle
est ainsi nulle sur ~21.2 Propriétés de l'espace préhilbertien D
Notations:
1. Pour tout k élément de Z, on note ek, l'élément de V défini par :
On appelle polynôme trigonométrique, toute combinaison linéaire
d'éléments de (ek)kEZ·
2. On note P le sous-espace vectoriel de V engendré par la famille (ek)kEZ
c'est-à-dire P = Vect(ek)kEZ·
3. Pour tout entier naturel n, on note Pn le sous-espace vectoriel de 'D
engendré par la famille (ek)-n:5k:5n c'est-à-dire Pn = Vect(ek)-n:$k:5n·
4. Pour tout élément f de D, on note
1 [2 ...
Vk E Z, ck(f) =< ek, f >= 2 11" lo f(t)e-iktdt.