Chapitre 21
Séries de Fourier
Remarque préliminaire
Nous rappelons (proposition 13.17, page 195) que, dans le cadre d'une application f définie et continue par morceaux sur ~, 27f périodique à valeurs réelles ou
complexes, nous avons
Va E ~, 1a+
2
" J(x)dx = fo
2
" J(x)dx.
21.1 L'espace préhilbertien V
Proposition 21.1 On note V l'ensemble des fonctions définies sur~ à valeurs
dans C, 27r-périodiques, continues par morceaux, et vérifiant
Vx E ~, f(x) = f(x+); f(x-).
1. L'ensemble V muni de la loi d'addition et multiplication par un nombre
complexe est un C-espace vectoriel.
2. L'application
< ., . >: v 2 ----t c
(f,g) t---t 2~ f~" f(t)g(t)dt.
définit un produit scalaire sur V. On note 11·112, la norme issue de ce
produit scalaire.
Preuve.
1. Évident.