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SUITES DANS UN ESPACE MÉTRIQUE
2. Notons l la limite de la suite ( U2n)(nEN), l' la limite de la suite ( U2n+i)(nEN)
et l" la limite de la suite (u3n)(nEN)·
La suite (u6n)(nEN) est une suite extraite des suites convergentes (u2n)(nEN)
et (u3n)(nEN)· Elle est donc convergente et,
{
limn-++oo U6n = limn-++oo U2n = l,
limn-++oo U6n = limn-++oo U3n = l".
D'où l = l". De même, la suite (u6n+3)(nEN) est une suite extraite des suites
convergentes ( U3n) ( nEN) et ( U2n+i) ( nEN), donc
{
limn-++oo U6n+3 = limn-++oo U3n = l",
limn-++oo U6n+3 = limn-++oo U2n+l = l'.
D'où l" = l'. Les suites (u2n)(nEN) et (u2n+i)(nEN) ayant même limite, la
suite (un)(nEN) est convergente.
Exercice 2.4 Montrer qu'une suite périodique et convergente est constante.
Solution. On considère une suite (un)(nEN) convergente vers un élément l et
périodique de période p, où p est un entier strictement positif.
Soit k un entier naturel. Montrons que Uk = l. Toute suite extraite de la suite
(un)(nEN) est convergente vers let en particulier la suite extraite (u(k+pn))(nEN)·
Cette suite est constante de valeur commune Uk· Donc Uk = l. On en déduit que
Vk EN, Uk = l.
Voici une caractérisation de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite.
Cette propriété sera utilisée par exemple pour déterminer, suivant les valeurs du
réel (), l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (cos nO)nEN (Exercice 7.8 page
82).
Proposition 2.13 Soient (E, d) un espace métrique et (un)nEN une suite
définie sur E. On note, pour tout entier naturel p, Ap la partie de E définie
par
Ap = {un;n ;=:: p} = {up,Up+l, · · · }.
L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (un)nEN est