(ucp(n))(nEN) soit convergente vers l. On détermine cette application par son premier terme
(remarquons que {m E N/d(l, um) ~ l} est non vide car d(l, A0 ) = 0 (proposition
1.14, page 15))
et, d'autre part, par la relation de récurrence :
Remarquons, comme précédemment, que {m;::: vide puisque d(l, Â(cp(n)+l)) =O.
L'application

VnEN,
1
d( Ucp(n), l) ~ 2 n.
La suite (ucp(n))(nEN) converge vers l. L'élément lest donc une valeur d'adhérence
de (un)nEN·
4't
Exercice 2.5 On considère une suite périodique à valeurs dans un espace métrique
(E, d). Montrer que l'ensemble de ses valeurs d'adhérence est égal à son ensemble
image.
Solution. Notons q la période de cette suite. L'ensemble image est
En reprenant les notations de la proposition 2.13, nous avons, pour tout entier
naturel p,