2.4. SUITES EXTRAITES, SOUS-SUITES
Exemples:
1. On considère la suite de réels (un)nEN définie par,
\:/nEN,
1
un= (-1r(l + - 1 ).
n+
25
Les réels 1 et (-1) sont valeurs d'adhérence de la suite (un)nEN car la suite
(u2n)nEN est convergente vers 1 et la suite (u2n+i)nEN vers (-1).
2. L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (cosn)nEN est le segment
[-1; 1]. Pour la preuve, on pourra voir l'exercice 7.8 page 82.
Proposition 2.12 Une suite convergente admet exactement une valeur
d'adhérence.
La preuve est immédiate d'après la proposition 2.11.
Remarque 2.3 La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite de réels
((n)<-l)n)nEN admettant 0 comme seule valeur d'adhérence. Elle est divergente car
non majorée.
Exercice 2.3 On considère une suite (un)(nEN) à valeurs dans un espace métrique
(E,d).
1. On suppose que les deux sous-suites (u2n)(nEN) et (u2n+i){nEN) sont convergentes. À quelle condition la suite (un)(nEN) est-elle convergente?
2. On suppose que les trois sous-suites ( U2n)(nEN), ( U2n+i)(nEN) et ( U3n)(nEN)
sont convergentes. Montrer que la suite ( un)(nEN) est convergente.
Solution.
1. Notons l la limite de la suite (u2n)(nEN) et l' la limite de la suite (u2n+i){nEN)·
Montrons que la suite (un)(nEN) est convergente si et seulement sil= l'.
(a) Supposons l = l'.
Soit c un réel strictement positif. Alors,
3no EN, \:/n 2: no, d(u2n, l) < c,
3n1 E N, \:/n 2: ni, d( U2n+i, l) < c.
Soit n2 =max (2no, 2n1+1). On a
La suite (un)(nEN) est donc convergente, de limite l.
(b) Si l f. l', la suite (un)(nEN) admet au moins deux valeurs d'adhérence
distinctes. Elle ne peut converger.